Մակերևույթի մակերես

$r$ շառավղով գունդը $4\pi r^{2}$ մակերևույթի մակերես ունի։

Մակերևույթի մակերես, տարածաչափական օբյեկտի մակերևույթի զբաղեցրած մակերեսի չափումն է։

Կոր մակերևույթների առկայությամբ մակերևույթի մակերեսի մաթեմատիկական սահմանումը շատ ավելի բարդ է, քան 1 չափում ունեցող կորի աղեղի երկարության կամ բազմանիստի մակերևույթի մակերեսի սահմանումը (որի համար մակերևույթի մակերեսը սահմանվում է որպես բոլոր երեսների մակերեսների գումար)։ Գնդի նման հարթ մակերեսները իրենց մակերևույթի մակերեսը ստանում են իրենց՝ որպես պարամետրիկ մակերևույթ ներկայացնելով։ Մակերևույթի մակերեսի նման սահմանումը հիմնված է մաթեմատիկական անալիզի մեթոդների վրա, և ներառում է մասնակի ածանցյալներ և կրկնակի ինտեգրալներ։

Ընդհանուր սահմանում փորձել են տալ Հենրի Լեբեգը և Հերման Մինկովսկին 20-րդ դարասկզբին։ Նրանց աշխատանքը բերել է երկրաչափական չափման տեսության զարգացմանը, որը ուսումնասիրում է կամայական չափման անկանոն օբյեկտների մակերևույթի մակերեսի չափման գաղափարները։ Կարևոր օրինակ է մակերևույթի Մինկովսկու տարողությունը։

Սահմանումը

$M$ առանցքային կտորներով և $N$ ճառագայթային գագաթներով Շվարցի փարոս։ $M$֊ի $N$-ի սահմանի անսահմանություն ձգտելիս մակերեսի սահմանը չի զուգամիտում։ Մասնավորապես՝ չի զուգամիտում գլանի մակերևույթի մակերեսին։

Չնայած բազմաթիվ պարզ մարմիններ իրենց մակերեսներով հայտնի են եղել դեռևս հնագույն ժամանակներից, ճշգրիտ մաթեմատիկական սահմանումը լուրջ խնամք է պահանջում։ Այն պետք է $S\mapsto A(S)$ ֆունկցիա նկարագրի, որը մակերևույթների որոշակի դաս կհամապատսխանեցնի իրական դրական թվերին՝ մի շարք տրամաբանական պահանջ բավարարելով։

Մակերևույթի մակերեսի ամենահիմնարար հատկանիշը հավելման հատկանիշն է․ ամբողջական մարմնի մակերեսը իր բաղկացուցիչ մասերի մակերեսների գումարն է։ Ավելի ճշգրիտ․ եթե $S$ մակերևույթը վերջավոր քանակությամբ $S_{1}\cdots S_{r}$ մակերևույթների միավորումն է, որոնք սահմաններից բացի ուրիշ տեղերում չեն համընկնում, ապա $A(S)=A(S_{1})+\cdots +A(S_{r})$։ Հարթ բազմանկյունների մակերևույթի մակերեսը պետք է համընկնի իրենց երկրաչափորեն սահմանված մակերեսի հետ։ Քանի որ մակերևույթի մակերեսը երկրափաչական հասկացություն է, համատիպ մակերևույթները պետք է նույն է լինեն, իսկ մակերեսը պիտի կախված լինի միայն մակերևույթի ձևից, այլ ոչ դիրքից կամ կողմնորոշումից։ Սա նշանակում է, որ մակերևույթի մակերեսն անփոփոխ է Էվկլիդյան խմբում։

Այս հատկանիշները եզակիորեն մակերևույթի մակերես են նկարագրում «մասամբ հարթ» կոչվող երկրաչափական մակերևույթների համար։ Նման մակերևույթները վերջավոր քանակությամբ բաղկացուցիչ մասեր ունեն, և կարող են արտահայտվել պարամետրիկ տեսքով.

$S_{D}:{\vec {r}}={\vec {r}}(u,v),\quad (u,v)\in D$

որտեղ ${\vec {r}}$֊ը շարունակաբար ածանցվող ֆունկցիա է։ Առանձին մասի մակերեսը սահմանված է հետևյալ բանաձևով․

$A(S_{D})=\iint _{D}\left|{\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}\right|\,du\,dv$

Այդպիսով, $S_{D}$ մակերևույթի մակերեսը ստացվում է մակերեսին նորմալ ${\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}$ վեկտորի երկարությունը $uv$ պարամետրիկ հարթության համապատասխան $D$ հատվածի համար ինտեգրալ հաշվելով։ Ամբողջ մակերևույթի մակերեսն արդեն ստացվում է բոլոր բաղադրիչի մակերեսների գումարը հաշվելով՝ մակերևույթի մակերեսների հավելման հատկանիշի շնորհիվ։ Վերջնական բանաձևը մակերևույթից կախված կարող է տարբերվել․ մակերևույթների տարբեր դասեր իրենց հատուկ բանաձևերն ունեն։ Առանձնահատուկ են $z=f(x,y)$ գրաֆիկների մակերեսներն ու պտույտի մակերեսները։

Ի տարբերություն կորի աղեղի երկարության, կամայական չափման մակերևույթի մակերեսը հնարավոր չէ սահմանել որպես հարթ մակերևույթը մոտարկող բազմանկյունների մակերեսների գումարի սահման։ Այս փաստը գլանի համար ցուցադրել է Հերման Շվարցը․ մոտարկող հարթ մակերևույթների ընտրությունը բերում է մակերեսի տարբեր սահմանային արժեքներին։ Օրինակը հայտնի է որպես Շվարցի փարոս։

19-րդ դարի վերջին և 20-րդ դարի սկզբին Հենրի Լեբեգը և Հերման Մինկովսկին մակերևույթի մակերեսի ընդհանուր սահմանման տարատեսակ մոտեցումներ են մշակել։ Եթե մասնակիորեն հարթ մակերևույթների համար եզակի և բնական սահմանում կա, եթե մակերևույթն անկանոն է կամ անհարթ, իր համար մակերես սահմանելը կարող է անհնար լինել։ Տիպիկ օրինակ է խիտ տեղակայված փշերով մակերևույթը։ Նման մակերևույթներ կարող են հանդիպել ֆրակտալներ ուսումնասիրելիս։ Երկրաչափական չափման տեսությունն ուսումնասիրում է այնպիսի մակերեսներ, որոնք իրենց ֆունկցիան միայն մասնակի են բավարաում կամ կարող են սահմանված լինել շատ անկանոն մակերևույթների համար։ Նման մակերևույթի կոնկրետ օրինակ է մակերևույթի Մինկովսկու տարողությունը։

Տարածված բանաձևեր

Տարածված մարմինների մակերևույթի մակերեսը հաշվելու բանաձևեր

Մարմին	Հավասարում	Փոփոխականներ
Խորանարդ	$6s^{2}\,$	$s$ = կողմի երկրարություն
Ուղղանկյունանիստ	$2(\ell w+\ell h+wh)\,$	$l$ = երկարություն, $w$ = լայնություն, $h$ = բարձրություն
Եռանկյուն պրիզմա	$bh+l(a+b+c)$	$b$ = հիմքի երկարություն, $h$ = հիմքի բարձրություն, $l$ = եռանկյուն հիմքերի միջև տարածություն, $a,b,c$ = եռանկյան կողմերի երկարություն
Պրիզմա	$2B+Ph\,$	$B$ = հիմքի մակերես, $P$ = հիմքի պարագիծ $h$ = բարձրություն
Գունդ	$4\pi r^{2}=\pi d^{2}\,$	$r$ = շառավիղ, $d$ = տրամագիծ
Գնդաձև լուն	$2r^{2}\theta \,$	$r$ = շառավիղ, $\theta$ = երկնիստ անկյուն
Տոր	$(2\pi r)(2\pi R)=4\pi ^{2}Rr$	$r$ = փոքր շառավիղ, $R$ = մեծ շառավիղ,
Գլան	$2\pi r^{2}+2\pi rh=2\pi r(r+h)\,$	$r$ = հիմքի շառավիղ, $h$ = բարձրություն
Կոնի կողային մակերևույթի մակերես	$\pi r\left({\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)=\pi rs\,$	$s={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$ $s$ = կողի երկրարություն, $r$ = հիմքի շառավիղ, $h$ = կոնի բարձրություն
Կոնի ամբողջական մակերևույթի մակերես	$\pi r\left(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)=\pi r(r+s)\,$	$s$ = կողի երկրարություն, $r$ = հիմքի շառավիղ, $h$ = կոնի բարձրություն
Բուրգ	$B+{\frac {PL}{2}}$	$B$ = հիմքի մակերես, $P$ = հիմքի պարագիծ, $L$ = կողի բարձրություն
Քառակուսի հիմքով բուրգ	$b^{2}+2bs=b^{2}+2b{\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}+h^{2}}}$	$b$ = հիմքի երկարություն, $s$ = կողի բարձրություն, $h$ = ուղղահայաց բարձրություն
Ուղղանկյուն հիմքով բուրգ	$lw+l{\sqrt {\left({\frac {w}{2}}\right)^{2}+h^{2}}}+w{\sqrt {\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}+h^{2}}}$	$l$ = երկարություն, $w$ = լայնություն, $h$ = բարձրություն
Քառանիստ	${\sqrt {3}}a^{2}$	$a$ = կողմի երկարություն

Գլանի և գնդի մակերևույթի մակերեսների հարաբերությունը

Ստորև ներկայացված են բանաձևեր՝ ցույց տալու, որ նույն շառավղով ու բարձրությամբ գնդի (1) և գլանի (2) մակերևույթի մակերեսների հարաբերությունը հավասար է $2:3$․

${\begin{array}{rlll}{\text{(1)}}&4\pi r^{2}&&=(2\pi r^{2})\times 2\\{\text{(2)}}&2\pi r(h+r)&=2\pi r(2r+r)&=(2\pi r^{2})\times 3\end{array}}$

Նկատեք, որ գնդի բարձրությունը տրամագիծն է․ $h=2r$։

Համարվում է, որ այս հարաբերությունը բացահայտել է հույն մաթեմատիկոս Արքիմեդեսը։

Կիրառություններ

Կենսաբանությունում

Միտոքոնդրիումը ներքին մեմբրանը ծալքերի հաշվին մեծ մակերևույթի մայերես ունի՝ բջջային շնչառության ավելի բարձր արագության հնարավորություն տալով։

Օրգանիզմի մակերևույթի մակերեսը կարևոր է մի շարք նկատառումներով, ինչպիսիք, օրինակ մարմնի ջերմաստիճանի կարգավորումն ու մարսողությունն են։ Կենդանիներն օգտագործում են իրենց ատամները՝ ուտելիքն ավելի փոքր մասերի բաժանելով ու մարսողության համար պատրաստ նյութի մակերևույթի մակերեսը մեծացնելով։ Փղերը մեծ ականջներ ունեն, որոնցով կարող են իրենց մարմնի ջերմաստիճանը կարգավորել։ Այլ դեպքերում կենդանիները կարող են նվազեցնել իրենց մարմնի մակերևույթի մակերեսը․ օրինակ, ցուրտ պայմաններում մարդիկ կարող են ծալել ձեռքերը կրծքի վրա, կուչ գալ ջերմության կորուստը նվազագույնի հասցնելու համար։

Բջջի մակերևույթի մակերեսի և ծավալի հարաբերությունը բջջի հնարավոր չափի համար վերին սահման է հաստատում․ քանի որ ծավալը մակերևույթի մակերեսից շատ ավելի արագ է մեծանում, նյութերի՝ բջջաթաղանթի միջոցով միջանկյալ տարածքներ կամ այլ բջիջներ տարածվելու արագությունը սահմանափակվում է։ Եթե բջիջը որպես $r$ շառավղով իդեալական գունդ ներկայացնենք, ծավալն ու մակերևույթի մակերեսը, համապատասխանաբար, հավասար կլինեն $V={\dfrac {4}{3}}\pi r^{3}$ և $S=4\pi r^{2}$։ Մակերևույթի մակերեսի հարաբերությունը ծավալին, այդպիսով, կլինի ${\dfrac {3}{r}}$: Նկատենք, որ շառավզի մեծացմանը զուգահեռ հարաբերությունը կտրուկ կնվազի՝ հաստատելով, որ ծավալը շատ ավելի արագ է մեծանում, քան՝ մակերևույթի մակերեսը։

Քիմիայում

Մակերևույթի մակերեսը կարևոր է նաև քիմիական կինետիկայում։ Նյութի մակերևույթի մակերեսի մեծացումը սովորաբար մեծացնում է նաև քիմիական ռեակցիայի արագությունը։ Օրինակ․ փոշիացված երկաթը կայրվի, իսկ պինդ վիճակում բավական կայուն է կառույցներում օգտագործելու համար։ Կիրառությունից կախված հնարավոր է, որ մինիմալ կամ մաքսիմալ մակերևույթի մակերես ցանկալի լինի։

Տես նաև

• Պարագիծ
• Ոլորտային եռանկյունաչափություն
• Մակերևութային ինտեգրալ